ukuran pemusatan data

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT bahwa kami telah menyelesaikan tugas “Statistika” dalam bentuk makalah.

Dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi. Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan dari berbagai pihak, sehingga kendala-kendala yang penulis hadapi teratasi. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1.              Orang tua yang telah turut membantu, membimbing, dan mengatasi berbagai kesulitan sehingga tugas ini selesai.

2.              Kepada bapak Sukemi Kamto Sudibyo, S.Kom, M.Si. yang telah memberikan tugas, petunjuk, kepada kami sehingga kami termotivasi dan menyelesaikan tugas ini.

Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan keterbatasan dalam penyajian data dalam pembuatan makalah ini. Oleh karena itu kami mengaharapkan kritik dan saran yang membangun dari semua pembaca demi kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat bagi mahasiswa/mahasiswi  dan semua pembaca.

        Demikian makalah ini kami susun, apabila ada kata-kata yang kurang berkenan dan banyak terdapat kekurangan kami mohon maaf sebesar-besarnya.

                                                                                                Weleri, 15 Januari 2013

                                                                                                Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Pada awal zaman Masehi, bangsa-bangsa mengumpulkan data statistic untuk mendapatkan informasi deskriptif mengenai banyak hal, misalnya pajak, perang, hasil pertanian, dan bahkan pertandingan atletik. Pada masa kini, dengan berkembangnya teori peluang, kita dapat menggunakan berbagai metode statistic yang memungkinkan kita meneropong jauh di luar data yang kita kumpulkan dan masuk ke dalam wilayah pengambilan keputusan melalui generalisasi dan peramalan.
Sering kali kita menghadapi masalah menyajikan sejumlah besar data statistic dalam bentuk yang ringkas dan kompak. Ukuran-ukuran tersebut tidak dapat mengidentifikasi semua ciri yang penting. Sejumlah informasi dapat diperoleh kembali bila data asal yang banyak tersebut diringkaskan dan disajikan delam bentuk tabel, diagram, dan grafik yang layak.

BAB II

LANDASAN TEORI

A.     Pengertian Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi ) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

B.     Macam-macam Ukuran Pemusatan Data

Nilai Pemusatan data yang sering digunakan :

1.       Mean

2.       Median

3.       Modus

1.       Mean (Rataan)

Mean atau rataan merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data. Rataan merupakan wakil dari sekumpulan data atau dianggap suatu nilai yang paling dekat dengan hasil pengukuran yang sebenarnya. Jenis rataan antara lain:

a.       Rataan hitung

·         Tunggal

Jika nilai n banyak data yang terdiri dari x₁, x₂, x₃, … x_n, rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut :

atau

atau

 

                n      = banyak data

                xᵢ      = nilai data ke-i

                         = jumlah data (jumlah data ke-1 sampai dengan data ke-n)

Contoh Soal :

Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung nilai siswa tersebut adalah ….

Pembahasan Soal :

Dik : 

Data                                    = 8, 5, 7,10, 5

n   =     banyak data       = 5

       = jumlah data          = 8 + 5 + 7 + 10 + 5            = 35

Ditanya              :  rata-rata à

Jawab :

                                                =                  = 7

·         Berbobot

Jika nilai n buah data adalah x₁, x₂, x₃, … x_n, dan masing-masing frekuensinya adalah f₁, f₂, f₃, … f_n , nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut.

atau

atau

 

                                 = Jumlah hasil  perkalian setiap data dan frekuensinya

f_i              = Frekuensi data ke-i

x _i            = Data ke-i

Sf_i =  n                = banyak data

Contoh Soal :

Pakaian terjual (xi)	Banyak Kios (fi)
70	2
80	3
90	4
100	1

Tabel penjualan  10 buah kios pakaian pada minggu pertama bulan Desember 2008

Rata-rata pakaian yang terjual  pada tabel di bawah adalah

Ditanya : Rumus rata-rata Jawab :                         =            =           84

Pembahasan :

Pakaian terjual (xi)	Banyak Kios (fi)	fi . xi
70	2	140
80	3	240
90	4	360
100	1	100
S	10	840

·         Kelompok

Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan Rata-rata hitung data berkelompok.

1.             

Ket. , xi = Titik tengah       = ½ . (batas bawah + batas atas)  ci  = Kode titik tengah   I   = Interval kelas = Panjang kelas       =  x0 = Titik tengah pada frekuensi          terbesar   di = xi – x0

dengan rumus sigma

2.               dengan rumus coding

               

               

3.              dengan rata-rata duga

 

                 

Contoh Soal :

Rata-rata pendapatan harian pedagang kaki lima pada tabel di samping adalah Rp …

Tabel pendapatan 50 Pedagang kaki lima pada tanggal 1 Januari 2009
NO	Pendapatan (dalam puluhan ribu rupiah)	fi
1	1 – 5	6
2	6 – 10	20
3	11 – 15	10
4	16 - 20	9
5	21 - 25	5

         b.              Rataan ukur

Misalkan diberikan sekumpulan data x1, x2, x3, …, xn. Rataan ukur yang disimbolkan dengan U didefinisikan dengan:

 

Dengan,

U = rataan ukur
               n = banyaknya data
              x₁ = data ke-i

c.              Rataan harmonis 

Misalkan diberikan sekumpulan data X1, X2, X3, …, Xn. Rataan harmonis yang disimbolkan dengan H didefinisikan dengan:

Dengan:

H = rataan harmonis
n = banyaknya data
x₁ = data ke-i

2.      Median

Median adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila datanya  genap.

Rumus Median:

a)        Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar. 

Contoh 1:

Nilai Tengah

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini.

Jawab:

 Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh  79  82  86  92  93 Oleh karena itu mediannya adalah 86

Contoh 2:

Kadar nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3 , 2.7 , 2.5 , 2.9 , 3.1 , dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.

Jawab:

Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9  2.3  2.5  2.7  2.9  3.1

Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7 yaitu

b)        Rumus Data yang Dikelompokkan

Ket.:     = Kuartil ke-j
               j = 1, 2, 3
               i = Interval kelas
             = Tepi bawah kelas
             fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas
               f = Frekuensi kelas
              n = Banyak data

3.      Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila digunakan untuk data yang memiliki sekala kategorik yaitu nominal atau ordinal.

Sedangkan data ordinal adalah data kategorik yang bisa diurutkan.

Misalnya,

 Kita menanyakan kepada 100 orang tentang kebiasaan untuk mencuci kaki sebelum tidur,

Dengan pilihan jawaban:

a.         Selalu

b.        Sering 

c.         Kadang-kadang

d.        Jarang

e.        Tidak pernah  

Apabila kita ingin melihat ukuran pemusatannya lebih baik menggunakan modus yaitu jawaban yang paling banyak dipilih, misalnya sering (2). Berarti sebagian besar orang dari 100 orang yang ditanyakan, menjawab sering mencuci kaki sebelum tidur.

Rumus Modus:

1.          Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan 

Contoh:

Sumbangan dari warga Weleri pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Berapakah nilai Modusnya?

Jawab:

Modus yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling sering muncul, adalah Rp 9.000.

2.         Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Ket. :   = Modus
            L     = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus)

  i    = Interval kelas
           b₁     = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
           b₂    = Selisih frekuensi kelas modus dengan  kelas sesudahnya.

Contoh:

Nilai	Titik tengah xi	Frekuensi fi
55 – 59	57	6
60 – 64	62	8
65 – 69	67	16
70 – 74	72	10
75 – 79	77	6
80 – 84	82	4

Dari Tabel diatas, tentukan nilai Modusnya.

Jawab:

Dari Tabel diatas dapat ditetapkan:

·           Kelas modusnya  65 – 69 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16), tepi bawahnya  L = 64,5 dan tepi atasnya U =69,5 sehingga panjang kelas,

 i = U – L

i = 69,5 – 64,5

i = 5

·           Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,

b₁ = 16 – 8

 b₁ = 8

·           Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya,

b₂ = 16 – 10

b₂ = 6

Jadi modusnya adalah

 

                = 64,5 + 5 ( )

          =67,35   (teliti sampai dua tempat desimal).

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

a.       Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan.

b.      Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu:

·                     Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)

·                     Median

·                     Modus

c.       Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data.

d.       Median dari n pengukuran atau pengamatan x₁, x₂ ,…, x_n adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan.

e.       Modus adalah data yang paling sering muncul/terjadi.